• 真實世界的美 |數學之美
    發布時間:2022-01-05
    出品:科普中國
    制作:黃逸文
    監制:中國科學院計算機網絡信息中心

      上一期中我們明白了“無用的數學”終將“有用”(https://mp.weixin.qq.com/s/5TE6xu9DCn6txqq7d4x2NA),是否覺得數學家的形象離我們更近了?

      誠然,世界上能夠發自內心地愛上數學的人并不多。大家心中的數學,往往是抽象、艱澀、枯燥的,外貌冷酷甚至令人不寒而栗。

      但是在一些人心中,數學卻擁有另外一副模樣。它擁有著迷人的外表,簡潔的風格,細膩的情感,深邃的見地和高遠的視野。愛因斯坦、牛頓、伽利略、柏拉圖、亞里士多德、楊振寧等等都曾對數學表達過毫不吝嗇的溢美之詞。

      如果我們能摒棄對數學的成見,走進數學的內心,它在眾人面前就可能不再是冰冷的面孔,而是生機盎然的花園。

    數學的王國,就是一座藝術的花園

      在數學家眼中,漂亮和優美是數學定理的內核。英國數學家哈代曾經說過:唯有優美的數學才能長存于世。盡管數學世界里也有蕪雜和混亂,但經過一代代數學家的打磨和思考,數學定理優雅的結構和證明逐漸清晰地呈現在世人面前。

      只是數學的美,過于深沉與厚重。這種觸及靈魂的感動,也許只有那些曾經登頂珠穆朗瑪峰的勇士才能體會得到。人們無法像數學家一樣欣賞數學,一方面是缺少足夠的數學知識,不喜歡往往是出于不了解甚至誤解;另一方面是人們很少把數學當成藝術,也鮮有人告知我們如何去欣賞數學。實際上,即使不能登頂珠峰,人們在遠處依然能目睹它的巍峨與雄壯,依然能由衷地生出敬畏與景仰。

      那么,數學的美究竟藏身何處?是大自然的啟示還是人的內心體驗?事實上,數學與音樂、美術、詩歌、建筑等等藝術有著千絲萬縷的關聯。數學的王國,就是一座藝術的花園。

      人類歷史上留下過諸多建筑的奇跡。雄偉巍峨的萬里長城、高貴典雅的印度泰姬陵、金碧輝煌的凡爾賽宮、璀璨夢幻的美泉宮、壯美秀麗的金閣寺、美輪美奐的虎丘園林等等,無一不在展示著人類對美的追求。甚至普通的一座花園,都處處體現美的理念。

      

      萬里長城

     ?。▓D片來源:Veer圖庫)

      一系列美的元素構建了美,元素的背后是幾何學與藝術。這也是數學與藝術的一個共同點:尋找事物的基本因子,建立特定的構造模式,并由此堆砌出模式上的大廈。數學上的大廈成為定理,藝術上的大廈成為杰作。這種模式不斷衍生,并涵蓋了建筑、音樂、美術等多種藝術。在這個意義上,數學和藝術的審美相通。

      事實上,數學的美無處不在。無論是基于投影法和幾何透視的藝術還是傅里葉分析的音樂創作,無論是脫胎于力學分析設計的獨特建筑還是物理原理沉淀出的大自然的鬼斧神工,或是在分形幾何基礎上進化出的復雜生命體,都在最深的尺度上遵循著數學的美感。這份博大精深的美塑造了我們多姿多彩的物質世界和生命現象。甚至我們人類本身,從細胞到器官,無一不是分形幾何的杰作。

      

      大自然中隨處可見“分形”

     ?。▓D片來源:Veer圖庫)

      在不少資料記載中,古希臘時期,畢達哥拉斯在打鐵鋪意外地打開了神奇的音樂盒子,發現了音樂的規律。這種內在的秩序啟發他用整數比例表達音程的關系,并且將音樂的美和數學聯系在了一起,更在基礎上萌發出“和諧”的哲學思想。

      在東方,中國的音律學亦起始于商周時期,進而推動了三分損益法和十二平均律的發展。東西方的人們同時從音樂中發現了數學的身影和價值,共同建立了“和諧”的秩序觀。

      

      古代編鐘

      (圖片來源:veer圖庫)

      一千多年后,數學家發現了拓撲上的“不可定向”曲線與曲面。著名的莫比烏斯環、克萊因瓶都是這些奇妙發現的實例。很快,藝術家從中得到啟發,形成了對后世影響深遠的超現實主義流派。

      

      莫比烏斯環

     ?。▓D片來源:veer圖庫)

      更進一步,數學家發展了“自指”的概念,與畫家和音樂家的創作碰撞出巨大的靈感。埃舍爾創作的名畫《無盡的樓梯》、巴赫創作的名曲《無限卡農》都是數學與藝術完美互動。

      

      埃舍爾作品《Ascending & Descending

     ?。▓D片來源:wikiart

      黃金分割,作為斐波拉契數列的內蘊數學結構,在藝術創作中更是比比皆是。無論是人還是物,遵循黃金分割比例的線條和構圖總是能帶給人最舒適的觀感。名畫中的人物之所以栩栩如生,一方面歸功于幾何透視和平面投影法的成功運用,另一方面就是黃金分割的恰到好處,讓一切看起來都和諧自然。達·芬奇的名畫《蒙娜麗莎》就是黃金分割的傳世之作。

    數學密碼的藝術:大自然的繪畫者

      自然數e,更是數學中最神奇的數字。這個與大眾相隔最遠,卻影響最大的數字,正在孜孜不倦地繪制著大自然與人類共存的歷史畫卷。

      著名的斐波拉契螺旋線,描述了一個在輻射狀的網格圖里,和每條輻射線保持固定夾角的曲線模型。

      

      鸚鵡螺的橫截面

     ?。▓D片來源:Veer圖庫)

      大自然似乎特別偏愛這條曲線。海螺的外殼、向日葵的種子、臺風的流動、水中的漩渦,包括DNA形成的雙螺旋結構,甚至銀河系的俯視圖,都呈現出這個規律。原因就是它們在生長過程中,始終保持著與輻射線等角度的發展方向,最終就必然形成一種螺旋線的外形。

      所有螺旋線結構的數學描述里,都包含著數字e。唯一的區別,僅僅是e的多少次方不同。在自然界的底層規律上,更是能找到無數e的蹤跡。大自然在各種微觀、宏觀、生命和非生命體現象中都透露出對e的喜愛。從這個意義上說,數學,是大自然繪畫和創作的工具。

      分形,是20世紀數學家在認識自然和宇宙真理上邁出的一大步。分形,更是在生命形成的過程中扮演著至關重要的角色??梢哉f,沒有分形,人類這種偉大而聰慧的生靈可能根本就不會出現。

      為了維持人體生存的必需,血管肩負起傳遞營養的重責。人的身體各處都布滿血管,從大動脈到微血管,就是為了保證每個細胞都能從血液的流動中交換必要的成分。大動脈負責主要血液的流動,微血管甚至只能允許單個血細胞通行??紤]到每個細胞都需要直接供血,血液循環系統的總體表面積會非常巨大。然而出乎意料的是,這樣一個極為復雜細致、遍布全身的血液網絡,其血流量的總體積卻僅占據人體體積的5%。

      科學家經過仔細研究發現:原來,血管的分叉就是一種分形結構。經過精密的實驗測定發現,人體動脈的分形維數大約為2.7。更進一步,科學家們發現,人體的主要器官和結構都是分形的杰作。

      人體的肺部細胞、大腦的表面、肝膽和小腸的結構、泌尿系統、神經元的分布、雙螺旋的DNA結構甚至蛋白質的分子鏈等等,都有明顯的分形特征:自相似性。甚至生物體中每個單元的形態結構、遺傳特性等,在不同程度上都可看作是生物整體的縮影。比如,人耳的形狀,就非常類似母體胚胎中蜷縮的嬰兒。

      人體的肺部管道遵循著反復的樹形分叉結構。為了能在有限的體積內充分吸收空氣,肺部的表面積竟然差不多有整個網球場那么大,這無疑是仰賴于分形的功勞!實驗揭示,肺泡的分形維數大約為2.97。

      

      人體的肺部

      (圖片來源:veer圖庫)

      人類的大腦更是分形藝術的杰作。大腦表面的皺紋也呈現出復雜的分形結構,目的就是為了在有限的體積內,擁有更大的表面積,從而擁有可能更加復雜的思考能力??茖W家估算出大腦的分形維數大致在2.75左右。

      數學,正是以這樣一種潤物細無聲的縝密與溫婉嵌入到人類社會的生活。遺憾的是,現代都市的快節奏讓人們的腳步過于匆忙,難以停下來欣賞這背后秩序的美感。

      生活中從來不缺少美,唯一缺少的,就是發現美的眼睛。也許我們可以自豪地說:真實世界的美,很大一部分,就是由數學與藝術編織而成。

      說到這里,很多人心里會自然浮現出一個問題:數學雖然對改造世界、推動文明進程功不可沒,但對于個人而言,真的有很大的用處嗎?

      下一期,我們將帶你討論一下。

    中國科學院科普云平臺技術支持,中國科學院計算機網絡信息中心運行
    文章內容僅為作者觀點,不代表中國科普博覽網、中國科普博覽網運行單位、中國科普博覽網主辦單位的任何觀點或立場。
    關閉
    日本人做真爱120分钟